মাধ্যমিক উপপাদ্য সাজেসান 2024

মাধ্যমিক উপপাদ্য সাজেসান 2024 | মাধ্যমিক গণিত | মাধ্যমিক জ্যামিতি

উপপাদ্য 32 : ব্যাস নয় এরূপ কোনাে জ্যা এর উপর বৃত্তের কেন্দ্র থেকে লম্ব অঙ্কন করা হলে, ওই লম্ব জ্যাটিকে সমদ্বিখন্ডিত করে।

উত্তর : সাধারন নির্বচন : ব্যাস নয় এরূপ কোনাে জ্যা এর উপর বৃত্তের কেন্দ্র থেকে লম্ব অঙ্কন করা হলে, ওই লম্ব জ্যাটিকে সমদ্বিখন্ডিত করে।

বিশেষ নির্বচন : O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB ব্যাস নয় এরূপ একটি জ্যা এবং OD, AB এর উপর লম্ব৷

প্রামাণ্য বিষয় : প্রমাণ করতে হবে যে OD, AB জ্যাকে সমদ্বিখন্ডিত করেছে অর্থাৎ, AD=DB

অঙ্কন : O , A এবং O , B যুক্ত করলাম।

প্রমাণ : OD, AB জ্যা এর উপর লম্ব৷

উপপাদ্য 33 : প্রমাণ করি যে, ব্যাস নয় এরূপ কোনাে জ্যাকে যদি বৃত্তের কেন্দ্রবিন্দুগামী কোনাে সরলরেখা সমদ্বিখন্ডিত করে, তাহলে ওই সরলরেখা ওই জ্যা-এর উপর লম্ব হবে৷

উত্তর : বিশেষ নির্বাচন : ধরি, O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ব্যাস নয় এরূপ একটি জ্যা AB এবং D, AB এর মধ্যবিন্দু অর্থাৎ, AD=DB

প্রামাণ্য বিষয় : প্রমাণ করতে হবে যে, OD, AB এর উপর লম্ব অর্থাৎ, OD ⊥  AB

অঙ্কন : O , A এবং  O , B  যুক্ত করলাম।

প্রমাণ :

উপপাদ্য 34: কোনাে বৃত্তের একটি বৃত্তচাপের দ্বারা গঠিত সম্মুখ কোণ ওই চাপের দ্বারা গঠিত যে কোনাে বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুন৷

উত্তর :

বিশেষ নির্বচনঃ O কেন্দ্রীয় বৃত্তের বৃত্তচাপ APB দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ ∠ AOB এবং একটি বৃত্তস্থ কোণ ∠ ACB

প্রামাণ্য বিষয় : প্রমাণ করতে হবে যে, ∠AOB=2 ∠ACB

অঙ্কনঃ C, O যুক্ত করে D বিন্দু পর্যন্ত বর্ধিত করি ।

প্রমাণঃ ত্রিভুজ AOC এর OA = OC [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]

উপপাদ্য 37 : প্রমাণ করো যে, অর্ধবৃত্তস্থ কোন এক সমকোণ ।

উত্তর : প্রদত্ত বিষয় : O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ∠ACB একটি অর্ধবৃত্তস্থ কোণ ।

প্রামাণ্য বিষয় : প্রমাণ করতে হবে যে ∠ACB = 1 সমকোণ ।

প্রমাণ : O কেন্দ্রীয় বৃত্তের APB বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত সম্মুখ কেন্দ্রস্থ কোণ ∠ AOB এবং ∠ ACB হল একটি বৃত্তস্থ কোণ । অতত্রব, ∠AOB = 2 ∠ ACB যেহেতু AOB একটি সরলরেখা । সুতরাং ∠ AOB একটি সরলকোণ অর্থাৎ ∠ AOB = 2 সমকোণ । সুতরাং 2 ∠ ACB= 2 সমকোণ অতত্রব, ∠ ACB= 1 সমকোণ

আরও দেখুন : মাধ্যমিক জ্যামিতিক প্রয়োগ

মাধ্যমিক গণিত সাজেশান 2022

উপপাদ্য 38: প্রমাণ করো যে, বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণগুলি পরস্পর সম্পূরক৷ (মাধ্যমিক -2022,2023)

উত্তর : প্রদত্ত বিষয় : ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ ।

প্রামাণ্য বিষয় : প্রমাণ করতে হবে যে,∠ABC +∠ADC = 2 সমকোণ ∠BAD + ∠ BCD = 2 সমকোণ ।

অঙ্কণ : AC ও BD কর্ণ দুটি অঙ্কণ করা হল ।

প্রমাণঃ ∠ADB = ∠ACB [ একাই বৃত্তাংস্থ কোণ ] আবার ∠BAC = ∠BDC [ একাই বৃত্তাংস্থ কোণ ] আবার ∠ADC = ∠ADB + ∠ BDC = ∠ ACB +∠ BAC অতএব ∠ ADC + ∠ABC =∠ACB + ∠BAC + ∠ABC অতত্রব ∠ADC + ∠ABC = 2 সমকোণ [ ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি 2 সমকোণ ] অনুরূপ ভাবে প্রমান করা যাবে যে ∠ BAD + ∠ BCD = 2 সমকোণ ।

উপপাদ্য 48 : যে কোনাে সমকোণী ত্রিভুজের সমকৌনিক বিন্দু থেকে অতিভুজের উপর লম্ব অঙ্কন করলে, ওই লম্বের উভয় পার্শ্বস্থিত ত্রিভুজদ্বয় সদৃশ এবং ওই ত্রিভুজগুলির প্রত্যেকে মূল ত্রিভুজের সঙ্গে সদৃশ৷

উত্তর : প্রদত্ত বিষয় : ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ যার ∠ A সমকোণ এবংসমকৌনিক বিন্দু A থেকে অতিভুজ BC-এর উপর AD লম্ব৷

প্রামাণ্য বিষয় : প্রমাণ করতে হবে যে- 1. ∆ DBA ও ∆ ABC পরস্পর সদৃশ 2. ∆ DAC ও ∆ ABC পরস্পর সদৃশ 3. ∆ DBA ও ∆ DAC পরস্পর সদৃশ

প্রমাণ : ∆ DBA ও ∆ ABC এর মধ্যে—

∠ BDA = ∠BAC = 90⁰

এবং ∠ ABD = ∠ CBA

সুতরাং অবশিষ্ট ∠ BAD = ∠ BCA

∴ ∆ DBA ও ∆ ABC সদশকোনী ।

∴ ∆ DBA ও ∆ ABC পরস্পর সদৃশ ।

আবার, ∆ DAC ও ∆ ABC এর মধ্যে —

∠ ADC = ∠ BAC = 90⁰

এবং ∠ ACD = ∠ BCA

সুতরাং অবশিষ্ট ∠ CAD = ∠ CBA

∴ ∆ DAC ও ∆ ABC সদৃশকোনী ।

∴ ∆ DAC ও ∆ ABC পরস্পর সদৃশ ।

আবার, ∆ DBA ও ∆ ABC পরস্পর সদৃশ।

সুতরাং ∆ DBA ও ∆ DAC পরস্পর সদৃশ ।